대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원에 내접한 삼각형들

문제

다음 그림과 같이 반지름의 길이가 11인 원 위의 한 점 AA를 꼭짓점으로 하고, AA에서의 내각이 30∘30 ^{\circ}인 삼각형을 원에 내접하며 서로 겹치지 않도록 최대한 붙였을 때, 삼각형들의 꼭짓점들을 꼭짓점 AA로부터 시계반대 방향으로 순서대로 P1,P2,⋯ ,Pn,Pn+1P _{1} , P _{2} , \cdots , P _{n} , P _{n + 1}이라 하자. 선분 P1P2‾,P2P3‾,⋯ ,PnPn+1‾\displaystyle \overline{P _{1} P _{2}} , \overline{P _{2} P _{3}} , \cdots , \overline{P _{n} P _{n + 1}}의 길이의 합은? [3점]

①55②53\displaystyle 5 \sqrt{3}③523\displaystyle \frac{5}{2} \sqrt{3}④44⑤43\displaystyle 4 \sqrt{3}

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①

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해설

원의 중심을 OO라 하면 ∠P1AP2=30∘\angle P _{1} AP _{2} = 30 ^\circ는 원주각이므로 중심각 ∠P1OP2=60∘\angle P _{1} OP _{2} = 60 ^\circ이다. 즉, P1P2‾=1\displaystyle \overline{P _{1} P _{2}} = 1이 된다. ∠P1OPn+1\angle P _{1} OP _{n+1}은 180∘180 ^{\circ}보다 작고 30∘30 ^{\circ}의 배수이므로, nn의 최댓값은 55이다. 마찬가지 방법으로 P2P3‾=P3P4‾=P4P5‾=P5P6‾=1\displaystyle \overline{P _{2} P _{3}} = \overline{P _{3} P _{4}} = \overline{P _{4} P _{5}} = \overline{P _{5} P _{6}} = 1 ∴P1P2‾+P2P3‾+P3P4‾+P4P5‾+P5P6‾=5\displaystyle \therefore \overline{P _{1} P _{2}} + \overline{P _{2} P _{3}} + \overline{P _{3} P _{4}} + \overline{P _{4} P _{5}} + \overline{P _{5} P _{6}} = 5

태그

#원주각#중심각

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