원에 내접한 삼각형

[출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

각 ${\mathrm{ACB}}$와 각 ${\mathrm{AEB}}$는 호 ${\mathrm{AB}}$에 대한 원주각이므로 ${\mathrm{\angle} ACB = \angle AEB}$ ${\mathrm{\angle} ADB + \angle AEB = 180 ^\circ}$이고 ${\mathrm{\angle} ADB + \angle ADE = 180 ^\circ}$이므로 ${\mathrm{\angle} AEB = \angle ADE}$ 각 ${\mathrm{ADE}}$와 각 ${\mathrm{BDC}}$는 맞꼭지각이므로 ${\mathrm{\angle} ADE = \angle BDC}$이고, $\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}} = {\overline{AC}}}$이므로 ${\mathrm{\angle} ACB = \angle ABC}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$에서 ${\mathrm{\angle} ABC = \angle BCD}$, ${\mathrm{\angle} ACB = \angle BDC}$이므로 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{BC}} = \mathit{a}}$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AE}} = 2 \mathit{a}}$이고 삼각형 ${\mathrm{ADE}}$는 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} = {\overline{AE}}}$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} = {\overline{AE}} = 2 \mathit{a}}$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} = \mathit{2} a + 1}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}} : {\overline{BC}} = {\overline{BC}} : {\overline{CD}}}$ ${2 a + 1 : a = a : 1}$ ${a ^{2} = 2 a + 1}$ ${a ^{2} - 2 a - 1 = 0}$ 근의 공식에 의하여 ${a}$$\displaystyle {= \frac{- \left( - 2 \right) \pm \sqrt{\left( - 2 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \left( - 1 \right)}}{2 \times 1}}$ $\displaystyle {= \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}}$ $\displaystyle {= \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle {= 1 \pm \sqrt{2}}$ ${a > 0}$이므로 $\displaystyle {a = 1 + \sqrt{2}}$