원에 내접한 삼각형

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 선분 $\mathrm{BF}$의 연장선이 원과 만나는 점을 $\mathrm{G}$, 선분 $\mathrm{OF}$의 연장선이 선분 $\mathrm{CG}$와 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하자. 호 $\mathrm{BC}$에 대한 원주각의 크기는 일정하므로 $\mathrm{\angle} BGC = \angle A = 60 \mathit{^\circ}$ 사각형 $\mathrm{AEFD}$의 내각의 합은 $360 \mathit{^\circ}$이고 $\mathrm{\angle} AEF = \angle ADF = 90 \mathit{^\circ}$이므로 $\mathrm{\angle} EFD$$= 180 \mathit{^\circ} - \angle \mathrm{A}$$= 180 \mathit{^\circ} - 60 \mathit{^\circ} = 120 \mathit{^\circ}$ $\mathrm{\angle} CFD = 180 \mathit{^\circ} - \mathrm{\angle} EFD = 60 \mathit{^\circ}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{CGF}$는 정삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \overline{FG}$ 호 $\mathrm{BC}$에 대한 중심각의 크기는 원주각의 크기의 $2$배이므로 $\mathrm{\angle} BOC = 2 \angle BAC = 120 \mathit{^\circ}$ 삼각형 $\mathrm{OBC}$는 이등변삼각형이므로 변 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OBM}$에서 $\displaystyle \mathrm{\angle} BOM = \frac{1}{2} \angle BOC = 60 \mathit{^\circ}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \frac{1}{2} \overline{BC} = 3$ $\displaystyle \sin 60 \mathit{^\circ} = \frac{\mathrm{{\overline{BM}}}}{{\overline{OB}}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{BM}}}{\sin 60 \mathit{^\circ}}$$\displaystyle = 3 \times \frac{2}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ 즉 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이다. 두 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OG}}$는 모두 원의 반지름이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = {\overline{OG}} = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OF}}$는 공통이므로 삼각형 $\mathrm{OFC}$와 삼각형 $\mathrm{OFG}$는 합동이고 $\mathrm{\angle} COF = \angle GOF$ 즉 선분 $\mathrm{OH}$는 $\mathrm{\angle} COG$의 이등분선이고 삼각형 $\mathrm{OCG}$는 이등변삼각형이므로 $\mathrm{\angle} CHO = 90 \mathit{^\circ}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = \frac{1}{2} \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \mathit{x}$ 직각삼각형 $\mathrm{OCH}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} ^{2} = {\overline{CH}} ^{2} + {\overline{OH}} ^{2}$ $\displaystyle \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{2} x \right) ^{2} + \left( \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} x \right) ^{2}$ $12 = x ^{2} + 3 x + 3$ $x ^{2} + 3 x - 9 = 0$ 근의 공식에 의해 $\displaystyle x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$ $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{- 3 + 3 \sqrt{5}}{2}$ $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{3}{2}$, $\displaystyle b = \frac{3}{2}$ 따라서 구하는 값은 $20 \left( a ^{2} + b ^{2} \right)$$\displaystyle = 20 \left( \frac{9}{4} + \frac{9}{4} \right)$$= 90$ [다른 풀이]

호 $\mathrm{BC}$에 대한 중심각의 크기는 원주각의 크기의 $2$배이므로 $\mathrm{\angle} BOC = 2 \angle BAC = 120 \mathit{^\circ}$ 삼각형 $\mathrm{OBC}$는 이등변삼각형이고 $\mathrm{\angle} COB = 120 \mathit{^\circ}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이다. 한편 사각형 $\mathrm{AEFD}$의 내각의 합은 $360 \mathit{^\circ}$이고 $\mathrm{\angle} AEF = \angle ADF = 90 \mathit{^\circ}$이므로 $\mathrm{\angle} EFD$$= 180 \mathit{^\circ} - \angle \mathrm{A}$$= 180 \mathit{^\circ} - 60 \mathit{^\circ} = 120 \mathit{^\circ}$ 맞꼭지각의 크기는 같으므로 $\mathrm{\angle} BFC = \angle EFD = 120 \mathit{^\circ}$ 따라서 $\mathrm{\angle} BFC = \angle BOC = 120 \mathit{^\circ}$이고 네 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{C}$는 한 원 위에 있다. 한 원에서 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\mathrm{\angle} BCO = \angle BFO = 30 \mathit{^\circ}$ 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{CE}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\mathrm{\angle} OFH = 180 \mathit{^\circ} - \left( 30 \mathit{^\circ} + 120 \mathit{^\circ} \right) = 30 \mathit{^\circ}$ 직각삼각형 $\mathrm{OHF}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OF}} \times \cos 30 \mathit{^\circ}$$\displaystyle = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OF}} \times \sin 30 \mathit{^\circ}$$\displaystyle = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \mathit{x}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OCH}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} ^{2} = {\overline{OH}} ^{2} + {\overline{CH}} ^{2}$ $\displaystyle \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{2} + x \right) ^{2}$ $12 = 3 + 3 x + x ^{2}$ $x ^{2} + 3 x - 9 = 0$ 근의 공식에 의해 $\displaystyle x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$ $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{- 3 + 3 \sqrt{5}}{2}$ $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{3}{2}$, $\displaystyle b = \frac{3}{2}$ 따라서 구하는 값은 $20 \left( a ^{2} + b ^{2} \right)$$\displaystyle = 20 \left( \frac{9}{4} + \frac{9}{4} \right)$ $= 90$ [다른 풀이]

삼각형 $\mathrm{OBC}$는 이등변삼각형이고 $\mathrm{\angle} COB = 120 \mathit{^\circ}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이다. $\mathrm{\angle} CFB = \angle COB = 120 \mathit{^\circ}$이므로 네 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{C}$는 한 원 위에 있다. $\mathrm{\angle} BCO = \angle BFO = 30 \mathit{^\circ}$ 선분 $\mathrm{BF}$ 위에 $\displaystyle \mathrm{\overline{OF}} = {\overline{OG}} = \sqrt{3}$이 되도록 점 $\mathrm{G}$를 잡으면 삼각형 $\mathrm{OGF}$는 이등변삼각형이므로 $\mathrm{\angle} GOF = 180 \mathit{^\circ} - 2 \mathrm{\angle} OFG = 120 \mathit{^\circ}$ $\mathrm{\angle} BOG$$= \mathrm{\angle} BOC - \mathrm{\angle} GOC$ $= 120 \mathit{^\circ} - \mathrm{\angle} GOC$ $= \mathrm{\angle} GOF - \angle GOC$ $\mathrm{=} \angle COF$ 또 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = \overline{OC}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OG}} = \overline{OF}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{OBG}$와 $\mathrm{OCF}$는 서로 합동이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BG}} = \overline{CF}$ 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{BF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OGH}$에서 $\mathrm{\angle} OGH = 30 \mathit{^\circ}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OG}} = \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} = \frac{3}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = {\overline{BG}} = \mathit{x}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OBH}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} ^{2} = {\overline{OH}} ^{2} + {\overline{BH}} ^{2}$ $\displaystyle \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{2} + x \right) ^{2}$ $12 = 3 + 3 x + x ^{2}$ $x ^{2} + 3 x - 9 = 0$ 근의 공식에 의해 $\displaystyle x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$ $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{- 3 + 3 \sqrt{5}}{2}$ $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{3}{2}$, $\displaystyle b = \frac{3}{2}$ 따라서 구하는 값은 $20 \left( a ^{2} + b ^{2} \right)$$\displaystyle = 20 \left( \frac{9}{4} + \frac{9}{4} \right)$$= 90$