원에 내접한 사각형 선분

[출제의도] 도형의 닮음과 원주각의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

선분 $\mathrm{AC}$가 지름이므로 $\angle \mathrm{ABC} = 90 ^\circ$ 직각삼각형 $\mathrm{\mathrm{ABC}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AB} \mathit{}}} ^{2}$$= 10 ^{2} - 8 ^{2}$$= 36$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 6$ 두 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{BEC}$에서 $\mathrm{\angle} ACB$가 공통이므로 $\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle BEC$($\mathrm{AA}$닮음) $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{CE}}} : {\overline{\mathrm{BC}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} = \mathit{\overline{\mathrm{CE}}} \times {\overline{\mathrm{AC}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}}{{\overline{\mathrm{AC}}}}$$\displaystyle = \frac{6 ^{2}}{10}$$\displaystyle = \frac{18}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB} \mathit{}}} \times {\overline{\mathrm{BC} \mathit{}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AC} \mathit{}}} \times {\overline{\mathrm{BE} \mathit{}}}$ 조건에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = \frac{1}{2} \times 10 \times \mathrm{\overline{BE}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{BEC}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 $\mathrm{\triangle} BEC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{CE}}} \times {\overline{\mathrm{BE}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{EF}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times$$\displaystyle \frac{18}{5} \times$$\displaystyle \frac{24}{5}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times$$\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} \times 6$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$$\displaystyle = \frac{18}{5} \times$$\displaystyle \frac{4}{5}$$\displaystyle = \frac{72}{25}$ 지름 $\mathrm{AC}$는 현 $\mathrm{BD}$를 수직이등분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \overline{ED}$ 두 삼각형 $\mathrm{DGE}$, $\mathrm{DAB}$에서 두 선분 $\mathrm{GF}$, $\mathrm{AB}$는 각각 선분 $\mathrm{BC}$에 수직이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{GF}}$$/ /$$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$, $\mathrm{\angle} DGE = \angle DAB$이므로 $\mathrm{\triangle} DGE \backsim \triangle DAB$ ($\mathrm{AA}$닮음) 두 삼각형 $\mathrm{DGE}$, $\mathrm{DAB}$의 닮음비가 $1 : 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{G}}} E$$=$$\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} {\overline{AB}} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ 그러므로 $l$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FG}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FE}}} \mathit{+} {\overline{\mathrm{EG}}}$$\displaystyle = \frac{72}{25} + 4$$\displaystyle = \frac{172}{25}$ 따라서 $25 l = 172$ [다른풀이] 선분 $\mathrm{AC}$가 원의 지름이므로 $\angle \mathrm{ABC} = 90 ^\circ$, $\displaystyle \mathrm{\overline{GF}} / / {\overline{AB}}$ 선분 $\mathrm{AC}$가 원의 지름이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp \overline{BD}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = {\overline{ED}}$ 따라서 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 변 $\mathrm{BD}$의 중점을 지나고 변 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선이 변 $\mathrm{AD}$와 만나는 점이므로 변 $\mathrm{AD}$의 중점이 된다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{G}}} E$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} {\overline{AB}}$$\mathrm{=} 4$ 직각삼각형 $\mathrm{\mathrm{ABC}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10 ^{2} - 8 ^{2}} = 6$ $\mathrm{\angle} BAC = \mathit{x}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \sin x = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{{\overline{\mathrm{AC}}}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ 두 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{ABE}$에서 $\mathrm{\angle} BAC$가 공통이므로 $\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle AEB$ 두 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{BCE}$에서 $\mathrm{\angle} BCA$가 공통이므로 $\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle BEC$ 따라서 $\mathrm{\angle} BAE = \angle EBC = \angle BAC = \mathit{x}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 $\displaystyle \sin x = \frac{{\overline{\mathrm{BE}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} \sin x$$\displaystyle = 8 \times \frac{3}{5}$$\displaystyle = \frac{24}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{BEF}$에서 $\displaystyle \sin x = \frac{{\overline{\mathrm{EF}}}}{{\overline{\mathrm{BE}}}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = {\overline{\mathrm{BE}}} \sin x$$\displaystyle = \frac{24}{5} \times \frac{3}{5}$$\displaystyle = \frac{72}{25}$ 그러므로 $l$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FG}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FE}}} \mathit{+} {\overline{\mathrm{EG}}}$$\displaystyle = \frac{72}{25} + 4$$\displaystyle = \frac{172}{25}$ 따라서 $25 l = 172$