원에 접하는 직선

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $x ^{2} + y ^{2} + 6 x - 4 y + 9 = 0$ ⇔ $( x + 3 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 4$ 이것은 중심이 $( - 3 , 2 )$, 반지름의 길이가 $2$인 원이다. 이 원에 직선 $y = mx$가 접하므로 원의 중심 $( - 3 , 2 )$와 직선 $mx - y = 0$사이의 거리는 반지름의 길이인 $2$와 같다. 즉, $\displaystyle \frac{| - 3 m - 2 |}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 2$ $\displaystyle | - 3 m - 2 | = 2 \sqrt{m ^{2} + 1}$ $\cdots$㉠ ㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 $5 m ^{2} + 12 m = 0$ ∴ $\displaystyle m = 0 , - \frac{12}{5}$ 따라서 구하는 모든 $m$의 값의 합은 $\displaystyle - \frac{12}{5}$이다.