대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위의 점과 삼각형 넓이

문제

좌표평면 위에 두 점 A(4,0)\mathrm{A} ( 4 , 0 ), B(0,−3)\mathrm{B} ( 0 , - 3 )이 있고, 자연수 nn에 대하여 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}이 원 Cn\mathit{C} _{\mathit{n}}::(x+2)2+(y−2)2=(2n)2\displaystyle ( x + 2 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = \left( \frac{2}{n} \right) ^{2} 위를 움직일 때, 다음 [[단계]]와 같이 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 정한다.

[[11단계]] 원 C1\mathit{C} _{\mathit{1}} 위를 움직이는 점 P1\mathrm{P} _{\mathit{1}}에 대하여 삼각형 ABP1\mathrm{ABP} _{\mathit{1}}의 넓이의 최댓값과 최솟값의 차를 a1a _{1}이라 하자. [[22단계]] 원 C2\mathit{C} _{\mathit{2}} 위를 움직이는 점 P2\mathrm{P} _{\mathit{2}}에 대하여 삼각형 ABP2\mathrm{ABP} _{\mathit{2}}의 넓이의 최댓값과 최솟값의 차를 a2a _{2}라 하자. ⋮\vdots [[nn단계]] 원 Cn\mathit{C} _{\mathit{n}} 위를 움직이는 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}에 대하여 삼각형 ABPn\mathrm{ABP} _{\mathit{n}}의 넓이의 최댓값과 최솟값의 차를 ana _{n}이라 하자.

이때, ∑n=119anan+1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{19} a _{n} a _{n + 1}의 값을 구하시오. [4점]

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95

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 점 Pn{\mathrm{P}} _{n}에서 직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 길이를 hnh _{n}이라 하면 △ABPn=12AB‾×hn=52hn\displaystyle \triangle \mathrm{ABP} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB} \mathit{}} \times \mathit{h} _{n} = \frac{5}{2} \mathit{h} _{n}이므로 ana _{n}은 hnh _{n}에 의하여 결정된다. ll : 원의 중심과 직선 AB\mathrm{AB}사이의 거리 rnr _{n}: 원 CnC _{n}의 반지름 an=52×hn\displaystyle a _{n} = \frac{5}{2} \times h _{n}의 최댓값 −52×hn\displaystyle - \frac{5}{2} \times h _{n}의 최솟값 =52(l+rn)−52(l−rn)=52×2rn=10n\displaystyle = \frac{5}{2} ( l + r _{n} ) - \frac{5}{2} ( l - r _{n} ) = \frac{5}{2} \times 2 r _{n} = \frac{10}{n} ∑n=119anan+1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{19} a _{n} a _{n + 1}=∑n=119100n(n+1)=100(1−120)=95\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{19} \frac{100}{n ( n + 1 )} = 100 \left( 1 - \frac{1}{20} \right) = 95

태그

#부분분수#점과 직선 거리

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