원 위 삼각형 넓이 극한

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원은 원점 $\mathrm{O}$를 지난다. ($\because$$\angle \mathrm{BOA} = 90 ^\circ$) 선분 $\mathrm{OA}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면, 점 $\mathrm{M}$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 제$1$사분면에서 원과 만나는 점이 $\mathrm{P}$일 때, 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이가 최대이다. 이때, 선분 $\mathrm{AB}$와 선분 $\mathrm{PM}$의 교점 $\mathrm{C}$가 원의 중심이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = \frac{1}{2} \overline{AB} = \frac{\sqrt{\mathit{(} 12 n + 1 ) ^{2} \mathrm{+} \mathit{(} 5 n ) ^{2}}}{2}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{169 n ^{2} + 24 n + 1}}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} = \frac{1}{2} \overline{BO} = \frac{\mathit{5} n}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = \overline{PC} + \overline{CM}$$\displaystyle = {\frac{\sqrt{169 n ^{2} + 24 n + 1} + 5 n}{2}}$ $\therefore$ $\displaystyle S ( n ) = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OA}} \times \overline{PM}$ $\displaystyle = \frac{\left( 12 n + 1 \right) \left( \sqrt{169 n ^{2} + 24 n + 1} + 5 n \right)}{4}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{S ( n )}{n ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{( 12 n + 1 ) \left( \sqrt{169 n ^{2} + 24 n + 1} + 5 n \right)}{4 n ^{2}}$$= 54$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{S ( n )}{n ^{2}}$$= 54$