원 위 삼각형 넓이 최대

[출제의도] 원과 직선의 방정식 문제 해결하기 중심 $\mathrm{O}$에서 변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 두 점 $\mathrm{A} , B$를 지나는 직선의 방정식이 $x + 5 y + 13 = 0$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$ $\therefore$ $\triangle \mathrm{PAB}$$\displaystyle \leq \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \left( \overline{OH} + \sqrt{13} \right)$$\displaystyle = \frac{13}{2} \left( 1 + \sqrt{2} \right)$ 따라서 $pq = 26$이다. [별해] 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \left( - \frac{1}{2} , - \frac{5}{2} \right)$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$ 따라서 $\triangle \mathrm{PAB}$의 넓이가 최대일 때 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2} + \sqrt{13}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{26}$이므로 $\triangle \mathrm{PAB}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{13}{2} \left( 1 + \sqrt{2} \right)$이다.