원 위 사각형 넓이

[출제의도] 직선의 방정식과 원의 방정식을 활용하여 추론하기 ㄱ. 직선 $\mathrm{AC}$의 방정식은 $x - 3 y + 5 = 0$이므로 점 $\mathrm{B}$와 직선 $\mathrm{AC}$ 사이의 거리는 $\displaystyle 2 \sqrt{10}$ (참) ㄴ. 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 직선 $\mathrm{AC}$와 평행할 때, 사각형 $\mathrm{PABC}$의 넓이가 최대가 된다. $\cdots \left( * \right)$ 선분 $\mathrm{AC}$와 두 선분 $\mathrm{PB}$, $\mathrm{PO}$가 만나는 점을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하자. 원 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 직선 $\mathrm{AC}$는 평행하고, 원의 반지름 $\mathrm{OP}$와 각각 서로 수직이다. 삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 $\angle \mathrm{R} = 90 ^\circ$, $\angle \mathrm{Q} < 90 ^\circ$이므로 직선 $\mathrm{PB}$와 직선 $\mathrm{AC}$는 서로 수직이 아니다. (거짓)

ㄷ. 사각형 $\mathrm{PABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{ACP}$의 넓이의 합과 같다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 3 \sqrt{10}$이고 ㄱ에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{10} \times 2 \sqrt{10} = 30$ $\cdots \text{㉠}$ 삼각형 $\mathrm{ACP}$의 넓이의 최댓값은 $\left( * \right)$에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} = \frac{\left| 1 \times 0 + \left( - 3 \right) \times 0 + 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \mathit{5} - {\overline{\mathrm{OR}}} = 5 - \frac{\sqrt{10}}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{10} \times \left( 5 - \frac{\sqrt{10}}{2} \right) = \frac{15 ( \sqrt{10} - 1 )}{2}$ $\cdots \text{㉡}$ 사각형 $\mathrm{PABC}$의 넓이의 최댓값은 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의하여 $\displaystyle \frac{15 \left( 3 + \sqrt{10} \right)}{2}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ