미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위 점 넓이 최대 극한

문제

그림과 같이 자연수 nn에 대하여 두 점 A(0,n)\mathrm{A} \mathit{\left( 0 , n \right)}, B(−2n,0)\mathrm{B} \mathit{\left( - 2 n , 0 \right)}과 원 x2+y2=nx ^{2} + y ^{2} = n이 있다. 원 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 P\mathrm{P}의 xx좌표를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞n(an+1−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( a _{n + 1} - a _{n} \right)}의 값은? [4점]

x2+y2=nx ^{2} + y ^{2} = n

①510\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}②1010\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}③55\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}④105\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}⑤52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}

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①

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 문제해결하기 점 P\mathrm{P}에서 직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이는 12×AB‾×PH‾\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}}이고 선분 PH\mathrm{PH}의 길이는 직선 PH\mathrm{PH}가 원의 중심 O\mathrm{O}를 지날 때 최대이다. 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기가 12\displaystyle \frac{1}{2}이므로 점 P\mathrm{P}는 직선 y=−2xy = - 2 x와 원 x2+y2=nx ^{2} + y ^{2} = n이 만나는 점 중 xx좌표가 양수인 점이다. 점 P(an,−2an)\mathrm{P} \left( \mathit{a} _{n} , - 2 a _{n} \right)이라 하면 an2+4an2=na _{n} ^{2} + 4 a _{n} ^{2} = n ∴an=n5\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{5}} lim⁡n→∞n(an+1−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( a _{n + 1} - a _{n} \right)} =lim⁡n→∞n(n+1−n5)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{5}} \right)} =lim⁡n→∞n5(n+1+n)=510\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{5} \left( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \right)}} = \frac{\sqrt{5}}{10}

태그

#수열의 극한#원의 접선

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