미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위 자연수 거리 점

문제

자연수 nn에 대하여 점 (4n,3n)\left( 4 n , 3 n \right)을 중심으로 하고, xx축에 접하는 원 CnC _{n}이 있다. 원 CnC _{n} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 OP\mathrm{OP}의 길이가 자연수가 되도록 하는 점 P\mathrm{P}의 개수를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞1n2∑k=1nak\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n ^{2}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 원 CnC _{n}은 xx축에 접하는 원이므로 반지름의 길이는 3n3 n이다. 원 CnC _{n}의 중심을 Gn(4n,3n)\mathrm{G} _{\mathit{n}} ( \mathit{4} n , 3 n )이라 하면 OGn‾=(4n)2+(3n)2=5n\displaystyle {\overline{\mathrm{OG} _{\mathit{n}}}} = \sqrt{( 4 n ) ^{2} + ( 3 n ) ^{2}} = 5 n 그림과 같이 직선 OGn\mathrm{OG} _{\mathit{n}}과 원 CnC _{n}이 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하면 선분 OP\mathrm{OP}의 길이는 OB‾≤OP‾≤OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} \leq {\overline{\mathrm{OP}}} \leq \overline{OA} OA‾=OGn‾+3n=8n\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OG} _{\mathit{n}}}} + 3 n = 8 n, OB‾=OGn‾−3n=2n\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = {\overline{\mathrm{OG} _{\mathit{n}}}} - 3 n = 2 n

Gn\mathrm{G} _{\mathit{n}}

OP‾=2n\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 2 n 또는 OP‾=8n\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 8 n일 때 점 P\mathrm{P}의 개수는 각각 11개이고, 2n+1≤OP‾≤8n−1\displaystyle 2 n + 1 \leq \overline{\mathrm{OP}} \leq 8 n - 1일 때 선분 OP\mathrm{OP}의 길이가 자연수인 점 P\mathrm{P}의 개수는 각각 22개이다. 그러므로 구하는 점 P\mathrm{P}의 개수는 2+2×(6n−1)=12n2 + 2 \times \left( 6 n - 1 \right) = 12 n이므로 an=12na _{n} = 12 n 따라서 lim⁡n→∞1n2∑k=1nak\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n ^{2}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}}=lim⁡n→∞{1n2×12n(n+1)2}=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{n ^{2}} \times \frac{12 n \left( n + 1 \right)}{2} \right\}} = 6

태그

#수열의 극한#원

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