원 위 호 길이 합

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기 직선 $y = nx$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta _{n}$, 직선 $y = \left( n + 1 \right) x$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta _{n + 1}$이라 하면, $l _{n} = \theta _{n + 1} - \theta _{n}$ $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k = 1} ^{n} l _{k} & = l _{1} + l _{2} + \cdots + l _{n} \end{aligned}$ $= ( \theta _{2} - \theta _{1} ) + ( \theta _{3} - \theta _{2} ) + \cdots + ( \theta _{n + 1} - \theta _{n} )$ $= \theta _{n + 1} - \theta _{1}$ $\tan \theta _{1} = 1$, $\tan \theta _{n + 1} = n + 1$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \tan ( \theta _{n + 1} - \theta _{1} ) & = \frac{\tan \theta _{n + 1} - \tan \theta _{1}}{1 + \tan \theta _{n + 1} \tan \theta _{1}} \end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned} & = \frac{( n + 1 ) - 1}{1 + ( n + 1 ) \times 1} \end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned} & = \frac{n}{n + 2} \end{aligned}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} l _{k} \geq \frac{\pi}{6}$이므로 $\displaystyle \tan ( \theta _{n + 1} - \theta _{1} ) \geq \tan \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle \frac{n}{n + 2} \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\displaystyle n \geq 1 + \sqrt{3}$ 따라서 $n$의 최솟값은 $3$