미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 호 길이 급수

문제

그림과 같이 중심이 A(0,1)\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right)이고 반지름의 길이가 11인 원 위의 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}과 xx축 위의 점 Qn{\mathrm{Q}} _{n}은 다음 규칙을 만족한다.

㈎ 점 P0\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{0}}}은 원점이고, 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}은 제 11사분면의 점이다. ㈏ 호 Pn−1Pn\mathrm{P} _{\mathit{n} - 1} \mathrm{P} _{\mathit{n}}의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, ln+1=rlnl _{n + 1} = r l _{n}이다. ㈐ 점 Qn{\mathrm{Q}} _{n}은 점 B(0,2)\mathrm{B} \left( 0 , 2 \right)와 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}을 이은 직선이 xx축과 만나는 점이다.

Q2\mathrm{Q} _{2}(2,0)\left( 2 , 0 \right)이고 ∑n=1∞ln=815π\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = \frac{8}{15} \pi일 때, 상수 rr의 값은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②15\displaystyle \frac{1}{5}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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③

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제 해결하기 ∠Pn−1APn=θn\angle \mathrm{P} _{\mathit{n} - 1} AP _{\mathit{n}} = \theta _{\mathit{n}}이라 하면 ln=θnl _{n} = \theta _{n}이고 ㈏에 의하여 θn=θ1rn−1\theta _{n} = \theta _{1} r ^{n - 1} ∑n=1∞ln=∑n=1∞θn=θ11−r=815π\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \theta _{n} = \frac{\theta _{1}}{1 - r} = \frac{8}{15} \pi⋯\cdots① ㈐에 의하여 θ1(1+r)=π2\displaystyle \theta _{1} ( 1 + r ) = \frac{\pi}{2}⋯\cdots ② 따라서 ①, ②에 의하여 r=14\displaystyle r = \frac{1}{4}

태그

#등비급수#호의 길이

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