원 위 두 삼각형 넓이 비

[출제의도] 삼각함수의 배각의 공식 이해하기

$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = 2 \cos \theta$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABP} \mathit{=} \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cos \theta \cdot \sin \theta$ $= 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = 2 \cos 2 \theta$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{AQB} \mathit{=} \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cos 2 \theta \cdot \sin 2 \theta$ $= 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$ $\mathrm{\triangle} ABP = 4 \triangle AQB$이므로 $\sin 2 \theta = 4 \cdot 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$ $\sin 2 \theta \left( 1 - 8 \cos 2 \theta \right) = 0$ $\sin 2 \theta \ne 0$이므로 $\displaystyle \cos 2 \theta = \frac{1}{8}$이다. $\displaystyle \cos 2 \theta = 2 \cos ^{2} \theta - 1 = \frac{1}{8}$이므로 $\displaystyle \cos ^{2} \theta = \frac{9}{16}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{4}$($\because \cos \theta > 0$) 따라서 $40 \cos \theta = 30$