미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 삼각형 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 점 A\mathrm{A}를 지나고 직선 BC\mathrm{BC}와 평행한 직선 ll이 있다. 자연수 nn에 대하여 중심 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}이 변 AC\mathrm{AC}위에 있고 반지름의 길이가 3(12)n−1\displaystyle \sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}인 원이 직선 AB\mathrm{A} B와 직선 ll에 모두 접한다. 이 원과 직선 AB\mathrm{A} B가 접하는 점을 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, 직선 OnPn\mathrm{O} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}과 직선 ll이 만나는 점을 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하자. 삼각형 BOnQn\mathrm{B} O _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞2nSn=k\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {2 ^{n} S _{n}} = k이다. k2k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

On\mathrm{O} _{\mathit{n}} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}} Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 원 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}이 직선 AB\mathrm{AB}와 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}에서 접하므로 직선 AB\mathrm{AB}와 직선 OnQn\mathrm{O} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}은 서로 수직이다. 직선 ll과 직선 BC\mathrm{BC}가 평행이므로 ∠QnAB=∠ABC=60∘\angle \mathrm{Q} _{\mathit{n}} AB = \angle \mathrm{ABC} = 60 ^\circ 두 직각삼각형 APnQn\mathrm{AP} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}과 APnOn\mathrm{AP} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}은 합동이므로 QnOn‾=2PnOn‾=23(12)n−1\displaystyle \overline{\mathrm{Q} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}} = 2 \overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}} = 2 \sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} 직각삼각형 APnOn\mathrm{AP} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}에서 OnPn‾APn‾=3\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}}}}{{\overline{\mathrm{AP} _{\mathit{n}}}}} = \sqrt{3}이므로 APn‾=(12)n−1\displaystyle {\overline{\mathrm{AP} _{\mathit{n}}}} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} BPn‾=AB‾−APn‾=4−(12)n−1\displaystyle {\overline{\mathrm{BP} _{\mathit{n}}}} = \overline{\mathrm{AB}} - {\overline{\mathrm{AP} _{\mathit{n}} \mathit{}}} = 4 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} Sn=3(12)n−1×{4−(12)n−1}\displaystyle S _{n} = \sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} \times \left\{ 4 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} \right\} k=lim⁡n→∞2nSn=lim⁡n→∞23{4−(12)n−1}=83\displaystyle k = \lim\limits _{n\rightarrow \infty {2 ^{n} S _{n}}=\lim\limits _{n\rightarrow \infty {2 \sqrt{3}}}} \left\{ 4 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} \right\} = 8 \sqrt{3} 따라서 k2=192k ^{2} = 192

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