미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 사각형 넓이 극한

문제

반지름의 길이가 11인 원 O\mathrm{O} 위에 한 점 A\mathrm{A}가 있다. 점 A\mathrm{A}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 rr인 원이 원 O\mathrm{O}와 만나는 점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 하고, 원 O\mathrm{O}의 지름 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. 사각형 APRQ\mathrm{APRQ}의 넓이를 S(r)\mathrm{S} ( \mathit{r} )라 할 때, lim⁡r→2−0S(r)2−r\displaystyle \lim\limits _{r \rightarrow 2 - 0} {} \frac{\mathrm{S} ( \mathit{r} )}{\sqrt{2 - r}}의 값은? (단, 0<r<20 < r < 2) [4점]

①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}와 PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}의 교점을 T\mathrm{T}, PT‾=h\displaystyle \mathrm{\overline{PT}} = \mathit{h}, AP‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}의 중점을 M\mathrm{M}이라고 하면, S(r)=hr\mathrm{S} \mathit{(} r ) = hr

△OAP=12×OA‾×PT‾=12×AP‾×OM‾\displaystyle \mathrm{\triangle} OAP = \frac{1}{2} \times \overline{OA} \times \overline{PT} = \frac{1}{2} \times \overline{AP} \times \overline{OM}이므로 12×1×h=12×r×1−(r2)2\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times h = \frac{1}{2} \times r \times \sqrt{1 - \left( \frac{r}{2} \right) ^{2}}, h=r1−(r2)2\displaystyle h = r \sqrt{1 - \left( \frac{r}{2} \right) ^{2}} ∴ lim⁡r→2−0S(r)2−r=lim⁡r→2−0r21−(r2)22−r\displaystyle \lim\limits _{r \rightarrow 2 - 0} \frac{\mathrm{S} \mathit{(} r )}{\sqrt{2 - r}} = \lim\limits _{r \rightarrow 2 - 0} \frac{r ^{2} \sqrt{1 - \left( \frac{r}{2} \right) ^{2}}}{\sqrt{2 - r}} =lim⁡r→2−0r2(2−r)(2+r)22−r=4\displaystyle = \lim\limits _{r \rightarrow 2 - 0} \frac{r ^{2} \sqrt{( 2 - r ) ( 2 + r )}}{2 {\sqrt{2 - r}}} = 4

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