미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 넓이 점화식 극한

문제

넓이가 20π20 \pi인 원 O1\mathrm{O} _{1}을 그리고, 원 O1\mathrm{O} _{1}의 사분원의 넓이보다 12π12 \pi 더 넓은 원 O2\mathrm{O} _{2}를 그린다. 또 원 O2\mathrm{O} _{2}의 사분원의 넓이보다 12π12 \pi 더 넓은 원 O3\mathrm{O} _{3}를 그린다. 이와 같이 원 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}의 사분원의 넓이보다 12π12 \pi 더 넓은 원 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}을 계속하여 그려 간다. 원 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

①14π14 \pi②15π15 \pi③16π16 \pi④17π17 \pi⑤18π18 \pi

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③

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해설

S1=20π,Sn=14Sn−1+12π(n≥2)\displaystyle S _{1} = 20 \pi , S _{n} = \frac{1}{4} S _{n - 1} + 12 \pi ( n \geq 2 ) Sn−16π=14(Sn−1−16π)\displaystyle S _{n} - 16 \pi = \frac{1}{4} ( S _{n - 1} - 16 \pi )이므로 Sn−16π=(20π−16π)(14)n−1=(14)n−2π\displaystyle S _{n} - 16 \pi = ( 20 \pi - 16 \pi ) \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 1} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 2} \pi Sn=16π+(14)n−2π\displaystyle S _{n} = 16 \pi + \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 2} \pi ∴lim⁡n→∞Sn=16π\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = 16 \pi

태그

#점화식#수열의 극한

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