원 넓이 극한

[출제의도] 원과 직선 사이의 관계를 이용하여 극한값 구하는 문제를 해결한다. 원 $x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}$과 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n} x$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 중심으로 하고 $x$축에 접하는 원을 $C _{n}$이라 하자. 원 $C _{n}$의 넓이 $S _{n}$은 그림과 같이 원 $x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}$과 $x$축의 교점 $( n , 0 )$을 중심으로 하고 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n} x$에 접하는 원 $C _{n}'$의 넓이 $S _{n}'$과 같다.

원 $C _{n}'$의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하면 $r _{n}$은 점 $( n , 0 )$과 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n} x$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle r _{n} = \frac{n}{\sqrt{n ^{2} + 1}}$ 따라서 $\displaystyle S _{n} = S _{n}' = ( r _{n} ) ^{2} \pi = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} \pi$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} \pi = \pi$ [다른 풀이 1] 원 $C _{n}$의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하면 원 $C _{n}$의 중심의 $y$좌표는 원 $C _{n}$의 반지름의 길이 $r _{n}$과 같고, 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{n}$이므로 원 $C _{n}$의 중심의 $x$좌표는 $nr _{n}$이다. 원점에서 원 $C _{n}$의 중심까지의 거리가 $n$이므로 $( nr _{n} ) ^{2} + ( r _{n} ) ^{2} = n ^{2}$ $( n ^{2} + 1 ) ( r _{n} ) ^{2} = n ^{2}$ $\displaystyle ( r _{n} ) ^{2} = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$ 따라서 $\displaystyle S _{n} = \pi ( r _{n} ) ^{2} = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} \pi$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$$= \pi$ [다른 풀이 2] 원 $x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}$과 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n} x$의 교점의 $y$좌표가 원 $C _{n}$의 반지름의 길이이므로 $x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}$에 $x = ny$를 대입하면 $( ny ) ^{2} + y ^{2} = n ^{2}$ $\left( n ^{2} + 1 \right) y ^{2} = n ^{2}$ $\displaystyle y ^{2} = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$이므로 원의 넓이 $S _{n}$은 $\displaystyle S _{n} = \pi y ^{2} = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} \pi$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$$= \pi$