미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 넓이 변화율

문제

좌표평면에서 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 tt(0<t<π0 < t < \pi)에서의 좌표는 (t2π,0)\displaystyle \left( \frac{t ^{2}}{\pi} , 0 \right)이다. 점 P\mathrm{P}를 지나고 xx축에 수직인 직선이 곡선 y=sin⁡xy = \sin x와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 점 P\mathrm{P}를 중심으로 하고 선분 PQ\mathrm{P} Q를 반지름으로 하는 원의 넓이를 SS라 하자.

t=π2\displaystyle t = \frac{\pi}{2}인 순간, 넓이 SS의 tt에 대한 변화율은? [4점] ①−π- \pi②−π2\displaystyle - \frac{\pi}{2}③00④π2\displaystyle \frac{\pi}{2}⑤π\pi

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⑤

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해설

S=π(sin⁡x)2S = \pi ( \sin x ) ^{2}에서 dSdt=2πsin⁡xcos⁡x×dxdt\displaystyle \frac{dS}{dt} = 2 \pi \sin x \cos x \times \frac{dx}{dt} x=t2π\displaystyle x = \frac{t ^{2}}{\pi}로 놓으면 dxdt=2tπ\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{2 t}{\pi}이고 t=π2\displaystyle t = \frac{\pi}{2}일 때 x=π4\displaystyle x = \frac{\pi}{4}이다. ∴ [dSdt]t=π2=2π×12×12×1=π\displaystyle \left[ \frac{dS}{dt} \right] _{t = \frac{\pi}{2}} = 2 \pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 = \pi

태그

#합성함수의 미분#변화율

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