원 내부 점 행렬 역행렬

영역 $x ^{2} + y ^{2} < 1$위의 임의의 두 점 ${\mathrm{A}} ( x _{1} , y _{1} )$, $\mathrm{B} \mathit{(} x _{2} , y _{2} )$에 대하여 $\displaystyle M + k E = {\begin{pmatrix} x _{1} + k & y _{1} \\ x _{2} & y _{2} + k \end{pmatrix}}$이고, $M + k E$의 역행렬이 항상 존재해야 하므로 $\displaystyle \frac{y _{1}}{x _{1} + k} \ne \frac{y _{2} + k}{x _{2}}$이다. 따라서, 점 ${\mathrm{C}} ( x _{1} + k , y _{1} )$, ${\mathrm{D}} ( x _{2} , y _{2} + k )$라 하면 점 $\mathrm{C}$는 $( x - k ) ^{2} + y ^{2} < 1$의 임의의 점이고 …① 점 $\mathrm{D}$는 $x ^{2} + ( y - k ) ^{2} < 1$의 임의의 점이다. …② 원점을 지나는 직선이 두 영역을 동시에 지나지 않아야 한다.

따라서 $k$의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{2}$이다.