공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 모양 종이 접기

문제

반지름의 길이가 $6$ 인 원 모양의 종이가 있을 때, 다음과 같은 방법으로 새로운 원을 그린다.

Ⅰ	$\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{D}$ $\mathrm{O}$	원의 중심 $\mathrm{O}$ 를 지나는 직선을 그렸을 때, 원과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 원과 두 점에서 만나도록 직선 $\mathrm{AB}$ 와 평행한 직선을 그렸을 때, 원과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자.
Ⅱ	$\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ $\mathrm{D}$ $\mathrm{O}$ $\mathrm{E}$ $\mathrm{C}$	점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 현을 접는 선으로 하여 직선 $\mathrm{CD}$ 에 접하도록 종이를 접고, 그 접점을 $\mathrm{E}$ 라 하자.
Ⅲ	$\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ $\mathrm{D}$ $\mathrm{O}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{E}$	점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 현이 원과 만나는 점 중 점 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 세 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ 를 지나는 새로운 원을 그린다.

원의 중심 $\mathrm{O}$ 를 좌표평면의 원점으로 하고, 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 를 지나는 직선을 $y$ 축으로 하는 좌표평면을 그렸을 때, 세 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ 를 지나는 원의 중심을 $\mathrm{O}' \mathit{(} a , b )$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{AEO}'$ 의 넓이가 $12$ 일 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.) [4점]

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해설

[출제의도] 원의 방정식을 활용하여 문제 해결하기 점 $\mathrm{O}$ 를 중심으로 하는 원을 $C _{1}$ , 점 $\mathrm{O}'$ 을 중심으로 하는 원을 $C _{2}$ 라 하자.

직선 $\mathrm{CD}$ 는 원 $C _{2}$ 의 접선이므로 직선 $\mathrm{CD}$ 와 직선 $\mathrm{EO}'$ 은 서로 수직이다. $\mathrm{O}' \mathit{\left( a , b \right)}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{AEO}'$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times \left( 6 - b \right) = 12$ $b = 2$ 따라서 원 $C _{2}$ 의 방정식은 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 36$ 원 $C _{2}$ 는 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 6 \right)$ 을 지나므로 $a ^{2} + 16 = 36$ $a ^{2} = 20$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 24$

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