원 접선 사각형 극한

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 점 $\mathrm{A}$에서 원에 그은 두 접선의 접점 중 점 $\mathrm{C}$가 아닌 점을 $\mathrm{E} \left( \mathit{2} n , 0 \right)$이라 하자.

$\triangle \mathrm{AEB}$와 $\triangle \mathrm{BOD}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} : {\overline{\mathrm{EB}}} = {\overline{\mathrm{BO}}} : {\overline{\begin{aligned} \mathrm{OD} \end{aligned}}}$ $\displaystyle n + 3 : n = n : {\overline{\mathrm{OD}}}$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = \frac{n ^{2}}{n + 3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = {\overline{\mathrm{CD}}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BO}} = \overline{\mathrm{BC}}$ $\displaystyle l _{n} = 2 \times \left( \frac{n ^{2}}{n + 3} + n \right) = \frac{4 n ^{2} + 6 n}{n + 3}$ $S _{n} = 2 \times ( \triangle \mathrm{BOD}$의 넓이$)$ $\displaystyle = \mathit{2} \times \left( \frac{1}{2} \times n \times \frac{n ^{2}}{n + 3} \right) = \frac{n ^{3}}{n + 3}$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{l _{n} \times S _{n}}{n ^{3}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{1}{n ^{3}} \times \frac{4 n ^{2} + 6 n}{n + 3} \times \frac{n ^{3}}{n + 3} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{4 n ^{2} + 6 n}{\left( n + 3 \right) ^{2}} = 4$