원 접선 반복

ㄱ. 그림과 같이 선분 $\mathrm{P} _{0} \mathrm{P} _{1} , \mathrm{P} _{1} \mathrm{P} _{2} , \mathrm{P} _{2} \mathrm{P} _{3} , \mathrm{P} _{3} \mathrm{P} _{4} ,$ … 의 중점을 각각 $\mathrm{C} _{1}$,$\mathrm{C} _{2}$,$\mathrm{C} _{3}$,$\mathrm{C} _{4}$,… 라 하면 $\triangle \mathrm{OP} _{0} C _{1} \equiv \triangle \mathrm{OP} _{1} C _{1} \equiv \triangle \mathrm{OP} _{1} C _{2} \equiv \triangle \mathrm{OP} _{2} C _{2} \equiv \cdots$ $\therefore \angle \mathrm{P} _{0} P _{1} P _{2} = \angle \mathrm{P} _{1} P _{2} P _{3}$ ∴ 참 ㄴ. 위의 그림에서 $\triangle \mathrm{OP} _{0} C _{1} \equiv \triangle \mathrm{OP} _{1} C _{1} \equiv \triangle \mathrm{OP} _{1} C _{2} \equiv \triangle \mathrm{OP} _{2} C _{2} \equiv$… 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} _{0} = \overline{OP} _{1} = \overline{OP} _{2} = \overline{OP} _{3} =$… 따라서, 한 점$\mathrm{O}$를 중심으로 자연수 $n$에 대하여 모든 $P _{n}$은 같은 거리에 있으므로 한 원 위에 있다. ∴ 참 ㄷ.$\angle \mathrm{P} _{0} O C _{1} = \theta$ 라 하면 $P _{0}$와 $P _{n}$이 일치하기 위해서는 $\mathrm{\angle} P _{0} OC _{1} = \angle P _{1} OC _{1} = \angle P _{1} OC _{2} = \cdots \angle P _{n} OC _{n} = \theta$ 이고, 내각의 총합 $2 n {\theta}$는 $360 ^\circ$의 배수이어야 한다. 즉, $360 ^\circ \times m = 2 n \theta$ (단, $m , n$은 자연수) ∴$\displaystyle \theta = 180 ^\circ \times {\frac{m}{n}}$ 따라서,$\theta$가 유리수이어야 한다. 그러므로,$\theta$가 무리수이면 $P _{0}$와 $P _{n}$이 일치하지 않는다. ∴ 거짓 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.