공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 반지름 연립 행렬

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 r1r _{1}인 세 원 C1,C2,C3\mathrm{C} _{1} , C _{2} , C _{3}의 중심과 반지름의 길이가 r2r _{2}인 두 원 O1\mathrm{O} _{1}, O2\mathrm{O} _{2}의 중심이 모두 한 직선 위에 있다. 두 원 C1,C2\mathrm{C} _{1} , C _{2}는 외접하고, 두 원 C2,C3\mathrm{C} _{2} , C _{3}이 외접한다. 두 원 C1,C3\mathrm{C} _{1} , C _{3}은 만나지 않는다. 원 O1\mathrm{O} _{1}은 원 C2\mathrm{C} _{2}에 내접하고 원 C3\mathrm{C} _{3}에 외접한다. 원 O2\mathrm{O} _{2}는 원 C3\mathrm{C} _{3}에 외접하고 원 C2\mathrm{C} _{2}와 만나지 않는다. 원 C1\mathrm{C} _{1}과 원 O1\mathrm{O} _{1}의 중심거리가 1313이고 원 C1\mathrm{C} _{1}과 원 O2\mathrm{O} _{2}의 중심거리가 2727일 때, r1r _{1}, r2r _{2}에 대한 연립일차방정식을 행렬을 이용하여 (r1r2)=18(a1−5b)(1327)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} r _{1} \\ r _{2} \end{matrix} \end{array} \right) = \frac{1}{8} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & 1 \\ - 5 & b \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 13 \\ 27 \end{matrix} \end{array} \right) 과 같이 나타낼 수 있다.

10(a+b)10 ( a + b )의 값을 구하시오. (단, r1r _{1}>r2> r _{2}) [4점]

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40

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해설

[출제의도] 연립방정식을 행렬로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다. 3r1−r2=133 r _{1} - r _{2} = 13, 5r1+r2=275 r _{1} + r _{2} = 27이므로 행렬로 나타내면 (3−151)(r1r2)=(1327)\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & - 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r _{1} \\ r _{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 27 \end{pmatrix} 이므로 (r1r2)=18(11−53)(1327)\displaystyle \begin{pmatrix} r _{1} \\ r _{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 \\ 27 \end{pmatrix}이다. a=1,b=3a = 1 , b = 3이므로 10(a+b)=4010 ( a + b ) = 40이다.

태그

#역행렬#원의 위치 관계

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