원 밖의 점에서 그은 접선

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 이해하여 점의 좌표를 구한다. 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$ $\left( x _{1} > 0 \right.$, $y _{1} > 0 )$이라 하자. 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( x _{1} , y _{1} \right)}$에서의 접선의 방정식은 $x _{1} x + y _{1} y = 1$ 이 직선이 점 $\left( 0 , 3 \right)$을 지나므로 $0 + 3 y _{1} = 1$ $\displaystyle y _{1} = \frac{1}{3}$ 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( x _{1} , y _{1} \right)}$이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점이므로 $x _{1} \mathit{^{2}} + y _{1} \mathit{^{2}} = 1$ $\displaystyle x _{1} \mathit{^{2}} + \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = 1$ $\displaystyle x _{1} \mathit{^{2}} = \frac{8}{9}$ $x _{1} > 0$이므로 $\displaystyle x _{1} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ [다른 풀이 1] 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기를 $m$이라 하면 이 직선이 점 $\left( 0 , 3 \right)$을 지나므로 접선의 방정식은 $y = mx + 3$ 직선 $y = mx + 3$이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$에 접하므로 원의 중심 $\left( 0 , 0 \right)$과 직선 $mx - y + 3 = 0$ 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 $1$과 같아야 한다. $\displaystyle \frac{\left| 0 - 0 + 3 \right|}{\sqrt{m ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = 1$ $\displaystyle \sqrt{m ^{2} + 1} = 3$ $m ^{2} = 8$ 이 원과 직선이 제$1$사분면에서 접하려면 $m < 0$이어야 하므로 $\displaystyle m = \mathit{-} 2 \sqrt{2}$ 두 식 $\displaystyle y = \mathit{-} 2 \sqrt{2} x + 3$, $x ^{2} + y ^{2} = 1$을 연립하여 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 구하면 $\displaystyle x ^{2} + \left( - 2 \sqrt{2} x + 3 \right) ^{2} = 1$ $\displaystyle 9 x ^{2} - 12 \sqrt{2} x + 8 = 0$ $\displaystyle \left( 3 x - 2 \sqrt{2} \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle x = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ [다른 풀이 2]

점 $\left( 0 , 3 \right)$을 $\mathrm{A}$라 하고 점 $\mathrm{P}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 직선 $\mathrm{AP}$가 점 $\mathrm{P}$에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$에 접하므로 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 $\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ$ 직각삼각형 $\mathrm{OPA}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = 3$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$$\displaystyle = \sqrt{3 ^{2} - 1 ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ 이때 삼각형 $\mathrm{OPA}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OA}} \times \overline{PH}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OP}} \times \overline{AP}$ $\displaystyle 3 \times \mathrm{\overline{PH}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 선분 $\mathrm{PH}$의 길이와 같으므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$이다.