원 배열 수의 합

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기 $n \geq 2$일 때, $n$행의 홀수 번째 놓인 원 안에는 $( 2 n - 1 )$이 $n$개, $n$행의 짝수 번째 놓인 원 안에는 $\left\{ 2 \times ( 2 n - 1 ) + ( 2 n - 3 ) \right\}$이 $( n - 1 )$개 쓰여 있다. $n$행의 모든 수의 합을 $a _{n}$이라 하면 $a _{n} = ( 2 n - 1 ) n + \left( 6 n - 5 \right) ( n - 1 )$ $= 8 n ^{2} - 12 n + 5$ ($n \geq 2$) $a _{1} = 1$이므로 $a _{n} = 8 n ^{2} - 12 n + 5$ ($n \geq 1$) $\therefore$ $\displaystyle S = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 8 n ^{2} - 12 n + 5 \right)$ $\displaystyle = 8 \sum\limits _{n = 1} ^{10} n ^{2} - 12 \sum\limits _{n = 1} ^{10} n + \sum\limits _{n = 1} ^{10} 5$ $\displaystyle = 8 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - 12 \times \frac{10 \times 11}{2} + 5 \times 10$ $= 2470$ 따라서 $\displaystyle \frac{S}{10} = 247$