대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원 배열 수의 규칙

문제

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 $( 2 n - 1 )$ 행에는 $1$ 개, $2 n$ 행에는 $( 2 n + 1 )$ 개의 원을 나열하고, 각 원 안에는 $1$ 부터 연속된 자연수를 하나씩 다음과 같은 규칙에 따라 써 넣는다.

(가) $1$ 행의 원 안에는 $1$ 을 써 넣는다. (나) $2 n$ 행의 모든 원 안에는 $( 2 n - 1 )$ 행에 써 넣은 수보다 $1$ 만큼 큰 수부터 차례로 써 넣는다. (다) $( 2 n + 1 )$ 행의 원 안에는 $2 n$ 행의 마지막에 써 넣은 수보다 $1$ 만큼 큰 수를 써 넣는다.

$20$ 행에 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합을 $S$ 라 할 때, $\displaystyle \frac{1}{10} S$ 의 값을 구하시오. [4점]

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252

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열을 이해하여 추론하기 자연수 $n$ 에 대하여 $2 n$ 행의 첫 번째 원 안에 써넣은 수를 차례로 나열하여 만든 수열 $2$ , $6$ , $12$ , $20$ , $\cdots$ 을 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이라 하면 이 수열의 일반항 $\displaystyle a _{n} = 2 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 2 k + 2 ) = n ^{2} + n$ 이므로 $20$ 행의 첫 번째 원 안에 써 넣은 수 $a _{10} = 110$ $20$ 행에 나열된 원 안에 써 넣은 수는 $110$ 부터 연속되는 $21$ 개의 자연수이므로 그 합 $\displaystyle S = \frac{21 \left( 2 \times 110 + 20 \right)}{2} = 2520$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{10} S = 252$

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