위치가 0이 되는 순간

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$($t \geq 0$)에서의 위치를 $x \left( t \right)$라 하면 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$$= 0$에서의 위치는 $0$이므로 $x \left( 0 \right)$$= 0$ $x \left( t \right)$$\displaystyle = x \left( 0 \right) + \int _{0} ^{t} {} v \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{t} {} 3 \left( t - 2 \right) \left( t - a \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{t} {} \left\{ 3 t ^{2} - 3 \left( a + 2 \right) t + 6 a \right\} dt$ $\displaystyle = t ^{3} - \frac{3}{2} \left( a + 2 \right) t ^{2} + 6 at$ 점 $\mathrm{P}$가 $0 < t < 2$, $t > a$에서 양의 방향으로, $2 < t < a$에서 음의 방향으로 움직이고 $t > 0$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치가 $0$이 되는 순간이 한 번 뿐이므로 $x \left( a \right)$$= 0$ $\displaystyle a ^{3} - \frac{3}{2} \left( a + 2 \right) a ^{2} + 6 a ^{2}$$= 0$에서 $a > 2$이므로 $a$$= 6$ 따라서 $v \left( 8 \right)$$= 3 \times 6 \times 2$$= 36$