공통수학2직선의 방정식AI킬러 문제 (22·30번 수준)

왕복하는 사람과 두 번의 만남

문제

직선 도로 위의 두 지점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q} 사이의 거리는 24002400 m이다. A는 오전 99시에 P\mathrm{P}를 출발하여 분속 8080 m로 Q\mathrm{Q}까지 간 뒤, 도착하는 즉시 같은 속력으로 P\mathrm{P}를 향해 되돌아온다. B는 오전 99시 tt분에 Q\mathrm{Q}를 출발하여 분속 4040 m로 P\mathrm{P}를 향해 간다. (단, 0<t<300 < t < 30) 그림은 오전 99시부터 xx분이 지났을 때 A의 P\mathrm{P}로부터의 거리 yy m를 나타낸 그래프이다. 두 사람이 만나는 두 지점 사이의 거리가 800800 m일 때, tt의 값을 구하시오. [4점]

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해설

실마리: A의 위치는 Q\mathrm{Q}에 도착하는 3030분을 경계로 두 개의 직선으로 나뉜다. 오전 99시부터 xx분이 지났을 때 P\mathrm{P}로부터의 거리를 yy m라 하자. A에 대하여 0≤x≤300 \leq x \leq 30이면 y=80xy = 80 x 30≤x≤6030 \leq x \leq 60이면 y=2400−80(x−30)=4800−80xy = 2400 - 80 ( x - 30 ) = 4800 - 80 x B에 대하여 y=2400−40(x−t)y = 2400 - 40 ( x - t ) (ⅰ) A가 Q\mathrm{Q}로 갈 때의 만남 80x=2400−40(x−t)80 x = 2400 - 40 ( x - t )에서 120x=2400+40t120 x = 2400 + 40 t이므로 x=20+t3\displaystyle x = 20 + \frac{t}{3} 0<t<300 < t < 30이므로 20<x<3020 < x < 30이 되어 이 만남은 실제로 일어난다. 이때의 지점은 P\mathrm{P}로부터 80(20+t3)=1600+803t\displaystyle 80 \left( 20 + \frac{t}{3} \right) = 1600 + \frac{80}{3} t (m) (ⅱ) A가 P\mathrm{P}로 돌아올 때의 만남 4800−80x=2400−40(x−t)4800 - 80 x = 2400 - 40 ( x - t )에서 40x=2400−40t40 x = 2400 - 40 t이므로 x=60−tx = 60 - t 0<t<300 < t < 30이므로 30<x<6030 < x < 60이 되어 이 만남도 실제로 일어난다. 이때의 지점은 P\mathrm{P}로부터 4800−80(60−t)=80t4800 - 80 ( 60 - t ) = 80 t (m) 두 지점 사이의 거리가 800800 m이므로 ∣1600+803t−80t∣=800\displaystyle \left| 1600 + \frac{80}{3} t - 80 t \right| = 800 ∣1600−1603t∣=800\displaystyle \left| 1600 - \frac{160}{3} t \right| = 800 1600−1603t=800\displaystyle 1600 - \frac{160}{3} t = 800에서 t=15t = 15 1600−1603t=−800\displaystyle 1600 - \frac{160}{3} t = - 800에서 t=45t = 45이고 이는 0<t<300 < t < 30에 맞지 않는다. 따라서 t=15t = 15 (검산) t=15t = 15이면 두 만남은 각각 2525분 후 P\mathrm{P}로부터 20002000 m 지점, 4545분 후 P\mathrm{P}로부터 12001200 m 지점에서 일어나고 그 거리의 차는 800800 m이다.

태그

#직선의 방정식#구간별 직선#거리·속력·시간

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