운동 방향이 두 번 바뀌는 정수 k의 개수

시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치가 $x = t ^{4} - 4 t ^{3} + 2 kt$ 이므로 시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}$의 속도를 $v$라 하면 $v = 4 t ^{3} - 12 t ^{2} + 2 k$ $t > 0$일 때 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 두 번 바뀌려면 $v$의 부호가 두 번 바뀌어야 한다. 즉, 방정식 $4 t ^{3} - 12 t ^{2} + 2 k = 0$, 즉 $2 t ^{3} - 6 t ^{2} + k = 0$ 이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 하므로 곡선 $y = - 2 t ^{3} + 6 t ^{2}$과 직선 $y = k$는 $t > 0$인 구간에서 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. $f \left( t \right) = - 2 t ^{3} + 6 t ^{2}$라 하면 $f' \left( t \right)$$= - 6 t ^{2} + 12 t$$= - 6 t \left( t - 2 \right)$ $f' \left( t \right) = 0$에서 $t = 0$ 또는 $t = 2$ $t \geq 0$에서 함수 $f \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( t \right)$의 극댓값은 $f \left( 2 \right) = 8$이고 $f \left( 0 \right) = 0$이므로 함수 $y = f \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

곡선 $f \left( t \right) = - 2 t ^{3} + 6 t ^{2}$와 직선 $y = k$가 $t > 0$일 때 서로 다른 두 점에서 만나려면 $0 < k < 8$ 따라서 정수 $k$는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$의 $7$개다.