미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

운동 방향과 가속도

문제

시각 t=0t = 0일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P{\mathrm{P}}가 있다. 양수 kk에 대하여 시각 t(t≥0)t \left( t \geq 0 \right)일 때 점 P{\mathrm{P}}의 위치 xx가   x=t3+32(2−k)t2−6kt\displaystyle x = t ^{3} + \frac{3}{2} \left( 2 - k \right) t ^{2} - 6 kt 이다. 출발한 후 점 P{\mathrm{P}}의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 P{\mathrm{P}}의 가속도가 1515일 때, kk의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

시각이 tt일 때 점 P{\mathrm{P}}의 속도를 v(t)v \left( t \right)라 하면 v(t)v \left( t \right)=dxdt\displaystyle = \frac{dx}{dt} =3t2+3(2−k)t−6k= 3 t ^{2} + 3 \left( 2 - k \right) t - 6 k =3(t+2)(t−k)= 3 \left( t + 2 \right) \left( t - k \right) 점 P{\mathrm{P}}의 운동 방향이 바뀌는 시각은 v(t)=0v \left( t \right) = 0인 시각이므로 3(t+2)(t−k)=03 \left( t + 2 \right) \left( t - k \right) = 0에서 t=−2t = - 2 또는 t=kt = k t>0t > 0이고 k>0k > 0이므로 t=kt = k 시각이 tt일 때 점 P{\mathrm{P}}의 가속도를 a(t)a \left( t \right)라 하면 a(t)a \left( t \right)=dvdt\displaystyle = \frac{dv}{dt}=6t+3(2−k)= 6 t + 3 \left( 2 - k \right) 시각 t=kt = k에서 점 P{\mathrm{P}}의 가속도가 1515이므로 a(k)=6k+3(2−k)=3k+6=15a \left( k \right) = 6 k + 3 \left( 2 - k \right) = 3 k + 6 = 15, 3k=93 k = 9 ∴\therefore k=3k = 3

태그

#속도#가속도#수직선 운동

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