미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

운동 방향 전환

문제

수직선 위를 움직이는 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}의 시각 t(t>0)t \left( t > 0 \right)에서의 위치가 각각 x1(t)=t3−3t2−24tx _{1} \left( t \right) = t ^{3} - 3 t ^{2} - 24 t, x2(t)=t2−atx _{2} \left( t \right) = t ^{2} - at 이다. 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}의 운동 방향이 시각 t=kt = k에서 동시에 바뀔 때, a+ka + k의 값을 구하시오. (단, aa와 kk는 상수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}의 시각 t(t>0)t \left( t > 0 \right)에서의 속도를 각각 v1(t)v _{1} ( t ), v2(t)v _{2} ( t )라 하면 v1(t)=3t2−6t−24v _{1} \left( t \right) = 3 t ^{2} - 6 t - 24, v2(t)=2t−av _{2} \left( t \right) = 2 t - a v1(t)=3(t+2)(t−4)=0v _{1} \left( t \right) = 3 \left( t + 2 \right) \left( t - 4 \right) = 0에서 t=4t = 4 0<t<40 < t < 4에서 v1(t)<0v _{1} \left( t \right) < 0, t>4t > 4에서 v1(t)>0v _{1} \left( t \right) > 0 이므로 점 P\mathrm{P}의 운동 방향은 시각 t=4t = 4에서만 바뀐다. 또한 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}의 운동 방향이 동시에 바뀌므로 점 Q{\mathrm{Q}}의 운동 방향도 시각 t=4t = 4에서 바뀌어야 한다. v2(4)=8−a=0v _{2} ( 4 ) = 8 - a = 0에서 a=8a = 8 따라서 a+k=8+4=12a + k = 8 + 4 = 12

태그

#속도#운동 방향

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