미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

움직인 거리

문제

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t(t≥0)t ( t \geq 0 )에서의 위치 xx가 x=t4+at3x = t ^{4} + at ^{3} (aa는 상수) 이다. t=2t = 2에서 점 P의 속도가 00일 때, t=0t = 0에서 t=2t = 2까지 점 P가 움직인 거리는? [3점] ①163\displaystyle \frac{16}{3}②203\displaystyle \frac{20}{3}③88④283\displaystyle \frac{28}{3}⑤323\displaystyle \frac{32}{3}

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①

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 점이 움직인 거리를 구한다. 시각 tt에서의 점 P\mathrm{P}의 속도 v(t)v \left( t \right)는 v(t)=dxdt=4t3+3at2\displaystyle v ( t ) = \frac{dx}{dt} = 4 t ^{3} + 3 at ^{2} v(2)=32+12a=0v ( 2 ) = 32 + 12 a = 0에서 a=−83\displaystyle a = \mathit{-} \frac{8}{3}이므로 v(t)=4t3−8t2v ( t ) = 4 t ^{3} - 8 t ^{2} t=0t = 0에서 t=2t = 2까지 점 P\mathrm{P}가 움직인 거리를 ss라 하면 ss=∫02∣4t3−8t2∣dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \left| 4 t ^{3} - 8 t ^{2} \right| dt=∫02(8t2−4t3)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \left( 8 t ^{2} - 4 t ^{3} \right) dt=[83t3−t4]02\displaystyle = \mathit{\left[ \frac{8}{3} t ^{3} - t ^{4} \right]} _{0} ^{2}=163\displaystyle \frac{16}{3}

태그

#속도#거리

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