움직인 거리

원점에서 출발한 점 ${\mathrm{P}}$의 시각 $t = a$에서의 위치가 $0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{a} v \left( t \right) dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{a} \left( - 3 t ^{2} + 6 t \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{3} + 3 t ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{a}$ $= - a ^{3} + 3 a ^{2}$ $= - a ^{2} \left( a - 3 \right) = 0$ $a$가 양수이므로 $a = 3$, $2 a = 6$ 시각 $t = 0$에서 $t = 6$까지 점 ${\mathrm{P}}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{6} \left| v \left( t \right) \right| dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{6} \left| - 3 t ^{2} + 6 t \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left( - 3 t ^{2} + 6 t \right) dt + \int _{2} ^{6} \left( 3 t ^{2} - 6 t \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{3} + 3 t ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{2} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 3 t ^{2} \end{array} \right] _{2} ^{6}$ $= \left( - 8 + 12 \right) + \left( 216 - 108 \right) - \left( 8 - 12 \right)$ $= 4 + 108 + 4 = 116$