의자에 앉는 경우의 수

(ⅰ) $\mathrm{2}$학년 학생이 오른쪽 끝 사각 의자에 앉을 때

또는

위와 같이 $\mathrm{2}$학년 학생이 앉을 사각 의자를 선택하는 경우의 수는 $\mathrm{2}$ 위의 각각의 경우에 대하여 $\mathrm{2}$학년 학생이 두 사각 의자에 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}} = 2$! ① $\mathrm{2}$학년 학생이 앉지 않은 사각 의자에 $\mathrm{1}$학년 학생이 앉는다면 $\mathrm{1}$학년 학생이 앉은 사각 의자와 이웃한 두 개의 둥근 의자에는 $\mathrm{3}$학년 학생만 앉아야 하므로 경우의 수는 $2 ! \times 2 ! \mathit{=} 4$ ② $\mathrm{2}$학년 학생이 앉지 않은 사각 의자에 $\mathrm{3}$학년 학생이 앉는다면 $\mathrm{3}$학년 학생이 앉은 사각 의자와 이웃한 두 개의 둥근 의자에는 $\mathrm{1}$학년 학생만 앉아야 하므로 경우의 수는 $2 ! \times 2 ! \mathit{=} 4$ 그러므로 $2 \times 2 ! \times ( 4 + 4 ) = 32$ (ⅱ) $\mathrm{2}$학년 학생이 오른쪽 끝의 사각 의자에 앉지 않을 때

오른쪽 끝이 아닌 나머지 $\mathrm{2}$개의 사각 의자에 $\mathrm{2}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}} = 2$! ① 오른쪽 끝의 사각 의자에 $\mathrm{1}$학년 학생이 앉는다면 $\mathrm{1}$학년 학생이 앉은 사각 의자와 이웃하지 않은 $\mathrm{2}$개의 둥근 의자에 $\mathrm{1}$학년 학생 $\mathrm{1}$명이 앉아야 하므로 경우의 수는 $2 \times 2 ! \times 2 ! \mathit{=} 8$ ② 오른쪽 끝의 사각 의자에 $\mathrm{3}$학년 학생이 앉는다면 $\mathrm{3}$학년 학생이 앉은 사각 의자와 이웃하지 않은 $\mathrm{2}$개의 둥근 의자에 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{1}$명이 앉아야 하므로 경우의 수는 $2 \times 2 ! \times 2 ! \mathit{=} 8$ 그러므로 $2 ! \times ( 8 + 8 ) = 32$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $32 + 32 = 64$ [다른 풀이] 사각 의자 $\mathrm{3}$개 중 $\mathrm{2}$개의 의자에 $\mathrm{2}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}} = 3 \times 2 = 6$ 나머지 의자 $\mathrm{4}$개에 $\mathrm{1}$학년 학생 $\mathrm{2}$명과 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{P}} \mathit{_{4}} = 4 ! \mathit{=} 24$ 조건 (가)를 만족시키는 경우의 수는 $6 \times 24 = 144$ 이 중 $\mathrm{1}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 서로 이웃하여 앉는 경우는 아래와 같이 다섯 가지이다.

각각의 경우 $1$, $2$, $3$학년 학생들이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{2}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{2}} {\mathrm{P}} \mathit{_{2}} = 8$ 따라서 $\mathrm{1}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 서로 이웃하여 앉는 경우의 수는 $5 \times 8 = 40$ 마찬가지로 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 서로 이웃하여 앉는 경우의 수도 $\mathrm{40}$ 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 경우의 수는 $144 - 40 \times 2 = 144 - 80 = 64$