미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

우함수 미분계수 극한

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 yy축에 대하여 대칭이고, f′(2)=−3f' ( 2 ) = - 3, f′(4)=6f' ( 4 ) = 6일 때, lim⁡x→−2f(x2)−f(4)f(x)−f(−2)\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -2} \frac{f ( x ^{2} ) - f ( 4 )}{f ( x ) - f ( - 2 )}의 값은? [3점] ①−8- 8②−4- 4③44④88⑤1212

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①

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해설

yy축 대칭이므로 f(x)=f(−x)f \left( x \right) = f \left( - x \right)이다. 양변을 미분하면 f′(x)=−f′(−x)f' \left( x \right) = - f' \left( - x \right) ∴ f′(−2)=3f' {\left( - 2 \right)} = 3, f′(−4)=−6f' {\left( - 4 \right)} = - 6 준식) lim⁡x→−2x−(−2)f(x)−f(−2)×f(x2)−f(4)x−(−2)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 2} {\frac{x - \left( - 2 \right)}{f \left( x \right) - f \left( - 2 \right)} \times \frac{f {\left( x ^{2} \right)} - f {\left( 4 \right)}}{x - \left( - 2 \right)}} =lim⁡x→−2f(x2)−f(4)x2−4f(x)−f(−2)x−(−2)×(x−2)=f(4)f′(−2)×(−4)=−8\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 2} {\frac{\frac{f {\left( x ^{2} \right)} - f {\left( 4 \right)}}{x ^{2} - 4}}{\frac{f {\left( x \right)} - f {\left( - 2 \right)}}{x - \left( - 2 \right)}}} \times \left( x - 2 \right) = \frac{f {\left( 4 \right)}}{f {' \left( - 2 \right)}} \times \left( - 4 \right) = - 8

태그

#미분계수#대칭함수

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