우함수 합성 보기

[출제의도] 미분의 성질을 이용하여 그래프의 개형을 추론한다. ㄱ. $\displaystyle g ( - x ) = \frac{\sin f ( - x )}{- x} = \frac{\sin f ( x )}{- x} = \mathit{-} g ( x )$ 이므로 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $g ( - x ) = \mathit{-} g ( x )$이다. (참) ㄴ. 함수 $f ( x )$가 미분가능하므로 조건 (다)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} f ( x ) = f ( 0 ) = 0$이고, 조건 (가)에서 $f' ( x ) = \mathit{-} f' ( - x )$이므로 $f' ( 0 ) = 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\sin f ( x )}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left( \frac{\sin f ( x )}{f ( x )} \times \frac{f ( x )}{x} \right)$ $= 1 \times f' ( 0 ) = 0$ (참) ㄷ. $\displaystyle g ( \alpha ) = \frac{\sin f ( \alpha )}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} > 0$이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} g ( x ) = 0$이므로 $0 < x < \alpha$에서 함수 $g ( x )$가 증가하는 구간이 있다. $\displaystyle g' ( x ) = \frac{xf' ( x ) \cos f ( x ) - \sin f ( x )}{x ^{2}}$에서 $\displaystyle g' ( \alpha ) = \frac{\alpha f' ( \alpha ) \cos f ( \alpha ) - \sin f ( \alpha )}{\alpha ^{2}} = \mathit{-} \frac{1}{\alpha ^{2}} < 0$ 그러므로 함수 $g ( x )$는 구간 $( 0 , \alpha )$에서 $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$보다 큰 극댓값을 갖는다. 따라서 방정식 $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{\alpha}$은 $0 < x \leq \alpha$에서 적어도 $2$개의 서로 다른 실근을 갖는다. $g ( - x ) = \mathit{-} g ( x )$이므로 방정식 $\displaystyle g ( x ) = \mathit{-} \frac{1}{\alpha}$은 구간 $- \alpha \leq x < 0$에서 적어도 $2$개의 서로 다른 실근을 가지므로 방정식 $\displaystyle \left| g ( x ) \right| = \frac{1}{\alpha}$은 적어도 $4$개의 서로 다른 실근을 갖는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.