미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

뚜껑 없는 직육면체 그릇의 부피 최대값

문제

다음과 그림과 같이 한 변의 길이가 1212인 정사각형 모양의 종이의 네 곳에서 한 변의 길이기 xx인 정사각형을 잘라내고 남은 부분을 접어서 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 그릇을 만들려고 한다. 이 그릇의 부피가 최대가 될 때, xx의 값은?

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해설

직육면체의 부피를 VV라 하면 V=x⋅(12−2x)2(0<x<6)⋯V = x \cdot ( 12 - 2 x ) ^{2} ( 0 < x < 6 ) \cdots(1) 식 (1)의 양변을 xx에 관하여 미분하면 dVdx=(12−2x)2+x⋅2⋅(12−2x)⋅(−2)\displaystyle \frac{dV}{dx} = ( 12 - 2 x ) ^{2} + x \cdot 2 \cdot ( 12 - 2 x ) \cdot ( - 2 ) =(12−2x)(12−6x)= ( 12 - 2 x ) ( 12 - 6 x ) =12(x−6)(x−2)= 12 ( x - 6 ) ( x - 2 ) 따라서, 부피는 x=2x = 2일 때 최댓값을 가진다.

태그

#도함수를 이용한 최대최소#부피 최적화

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