확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

통학 시간 이항근사

문제

어느 도시의 학생 25002500명을 대상으로 조사한 통학 시간은 정규분포를 따르고 평균이 2525분, 표준편차가 55분이라고 한다. 이 25002500명의 학생 중 임의로 택한 한 학생의 통학 시간이 3535분 이상일 확률은 p1p _{1}이다. 또, 이 25002500명의 학생 중에서 통학 시간이 3535분 이상인 학생이 nn명 이상일 확률은 p2p _{2}이다. p1=p2p _{1} = p _{2}일 때, 자연수 nn의 값을 구하시오. (단, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.) [4점]

zzP(0≤Z≤z){\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq z )
1.01.00.340.34
1.51.50.430.43
2.02.00.480.48
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64

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해설

한 학생의 통학 시간을 확률변수 XX라 하면 p1=p _{1} =P(X≥35)=P(Z≥35−255)\displaystyle {\mathrm{P}} ( X \geq 35 ) = {\mathrm{P}} \left( Z \geq \frac{35 - 25}{5} \right)=0.02= 0.02 따라서 25002500명 중 통학 시간이 3535분 이상인 학생의 수를 확률변수 YY라 하면 YY는 이항분포 B(2500,0.02)\mathrm{B} \left( 2500 , 0.02 \right)를 따르므로 근사적으로 정규분포 N(50,72)\mathrm{N} \left( 50 , 7 ^{2} \right)을 따른다. 이때, p2=p _{2} =P(Y≥n)=P(Z≥n−507)=P(Z≥2)\displaystyle {\mathrm{P}} ( Y \geq n ) = {\mathrm{P}} \left( Z \geq \frac{n - 50}{7} \right) = \mathrm{P} ( \mathit{Z} \geq 2 )이어야 하므로 n−507=2\displaystyle \frac{n - 50}{7} = 2이다. ∴ n=64n = 64

태그

#정규분포#이항분포근사

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