중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

톨레미 정리 증명

문제

다음은 중심이 O\mathrm{O}인 원에 내접하는 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에 대하여 AB‾⋅CD‾+BC‾⋅DA‾=AC‾⋅BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{CD} + \overline{BC} \cdot \overline{DA} = \overline{AC} \cdot \overline{BD}가 성립함을 증명한 것이다. [증명]

∠BAE=∠CAD\mathrm{\angle} BAE = \angle CAD가 되는 점 E\mathrm{E}를 대각선 BD\mathrm{BD} 위에 잡으면, ∠ABD=∠ACD\mathrm{\angle} ABD = \angle ACD(호AD\mathrm{AD}에 대한 원주각)이므로 △ABE∽△ACD\mathrm{\triangle} ABE \backsim \triangle ACD이다. 따라서, AB‾⋅CD‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{CD} = □(가){\square {( \text{가} )}} ………①

또한, ∠BAC=\mathrm{\angle} BAC = □(나){\square {( \text{나} )}},∠ACB=∠ADE\mathrm{\angle} ACB = \angle ADE이므로 △ABC∽△AED\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle AED이다. 따라서, BC‾⋅AD‾=\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \cdot \overline{AD} = □(다){\square {( \text{다} )}} ………②

①과 ②를 같은 변끼리 더하면 AB‾⋅CD‾+BC‾⋅DA‾=AC‾⋅(BE‾+ED‾)=AC‾⋅BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{CD} + \overline{BC} \cdot \overline{DA} = \overline{AC} \cdot \left( \overline{BE} + \overline{ED} \right) = \overline{AC} \cdot \overline{BD} 그러므로, AB‾⋅CD‾+BC‾⋅DA‾=AC‾⋅BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{CD} + \overline{BC} \cdot \overline{DA} = \overline{AC} \cdot \overline{BD}가 성립함을 알 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①AC‾⋅BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{BE} ∠EAD\mathrm{\angle} EAD AC‾⋅ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{ED}②AC‾⋅BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{BE} ∠EAD\mathrm{\angle} EAD AB‾⋅ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{ED}③AC‾⋅AE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{AE} ∠EAD\mathrm{\angle} EAD AC‾⋅ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{ED}④AC‾⋅AE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{AE} ∠CDA\mathrm{\angle} CDA AB‾⋅ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{ED}⑤AD‾⋅BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \cdot \overline{BE} ∠CDA\mathrm{\angle} CDA AB‾⋅ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{ED}

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①

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해설

[출제의도] 원주각의 성질을 이해하고, 이를 활용하기 △ABE∽△ACD\mathrm{\triangle} ABE \backsim \triangle ACD에서 AB‾:AC‾=BE‾:CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{AC} = \overline{BE} : \overline{CD}이다. ∴AB‾⋅CD‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{CD} = AC‾⋅BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{BE} ………(가) 또한,∠BAE=∠DAF\mathrm{\angle} BAE = \angle DAF이므로 ∠BAC=∠BAE+∠EAF\mathrm{\angle} BAC = \mathrm{\angle} BAE + \angle EAF=∠DAF+∠EAF=∠EAD= \mathrm{\angle} DAF + \angle EAF = \mathrm{\angle} EAD ∴∠BAC=\therefore \mathrm{\angle} BAC =∠EAD\mathrm{\angle} EAD ………(나) 그리고∠ACB=∠ADE\mathrm{\angle} ACB = \mathrm{\angle} ADE이므로 △ABC∽△AED\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle AED이다. △ABC∽△AED\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle AED에서 AC‾:AD‾=BC‾:ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} : \overline{AD} = \overline{BC} : \overline{ED} 이므로 BC‾⋅AD‾=\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \cdot \overline{AD} =AC‾⋅ED‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{ED} ………(다) 따라서, (가), (나), (다)에 알맞은 것은 ① 이다.

태그

#닮음#원주각#증명#중학

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