특수 행렬 보기

[출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 명제의 참, 거짓을 추론한다. $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a ^{2} - b ^{2} & - 2 ab \\ 2 a b & a ^{2} - b ^{2} \end{pmatrix}}$ ㄱ. $A ^{2} = O$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a ^{2} - b ^{2} & - 2 ab \\ 2 a b & a ^{2} - b ^{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$ $a ^{2} - b ^{2} = 0$, $2 ab = 0$에서 $a = b = 0$ ∴ $A = O$ (참) ㄴ. $A ^{2} + E = O$에서 $A ^{2} = - E$ 즉, $\displaystyle {\begin{pmatrix} a ^{2} - b ^{2} & - 2 ab \\ 2 a b & a ^{2} - b ^{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$ $a ^{2} - b ^{2} = - 1$, $2 ab = 0$에서 $a = 0$, $b = - 1$ 또는 $a = 0$, $b = 1$ 따라서 조건을 만족시키는 행렬 $A$는 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}}$ 또는 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$으로 $2$개이다. (참) ㄷ. $A ^{2} - A = O$에서 $A ^{2} = A$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} a ^{2} - b ^{2} & - 2 ab \\ 2 a b & a ^{2} - b ^{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \end{pmatrix}}$ $a ^{2} - b ^{2} = a$, $2 ab = b$ $b = 0$이면 $a ^{2} = a$에서 $a = 0$ 또는 $a = 1$ $b \ne 0$이면 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} - b ^{2} = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle b ^{2} = - \frac{1}{4}$을 만족시키는 실수 $b$는 존재하지 않는다. 그러므로 조건을 만족시키는 행렬 $A$는 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$ 또는 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$로 $2$개이다. (참)