타원의 접선과 정삼각형

[출제의도] 타원의 성질을 이해하여 타원의 초점의 좌표를 구한다. 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{18} = 1$의 초점이 $\mathrm{F} \mathit{(} c , 0 )$, $\mathrm{F}' \mathit{(} - c , 0 )$이므로 $a ^{2} - 18 = c ^{2}$, $a ^{2} = c ^{2} + 18$ $\cdots \cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{RF}' F$가 한 변의 길이가 $2 c$인 정삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} = \mathit{\sqrt{3}} c$ 점 $\mathrm{F}'$이 선분 $\mathrm{QF}$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QO}}} = \mathit{3} c$ 직선 $\mathrm{QR}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{OR}}}}{{\overline{\mathrm{QO}}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선 $\mathrm{QR}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) ^{2} a ^{2} + 18}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{\frac{1}{3} a ^{2} + 18}$ 직선 $\mathrm{QR}$의 $y$절편이 $\displaystyle \sqrt{3} c$이므로 $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3} a ^{2} + 18} = \sqrt{3} c$, $\displaystyle \frac{1}{3} a ^{2} + 18 = 3 c ^{2}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{3} \left( c ^{2} + 18 \right) + 18 = 3 c ^{2}$, $\displaystyle \frac{8}{3} c ^{2} = 24$ 따라서 $c ^{2} = 9$