타원의 초점과 직각 조건

타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$의 두 초점의 좌표는 $\displaystyle F ( \sqrt{5} , 0 ) , F' ( - \sqrt{5} , 0 )$ 점 $P$가 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{PF} = a , \overline{PF'} = b$ 라 하면 $a + b = 6$ $\therefore a = 6 - b \cdots \cdots ( \text{ㄱ} )$ 삼각형 $PFF'$에서 $\displaystyle \angle FPF' = \frac{\pi}{2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{PF} ^{2} + \overline{PF'} ^{2} = \overline{FF'} ^{2}$ $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = ( 2 \sqrt{5} ) ^{2}$ 위 식에 (ㄱ)을 대입하면 $( 6 - b ) ^{2} + b ^{2} = 20$ $b ^{2} - 6 b + 8 = 0$ $( b - 2 ) ( b - 4 ) = 0$ $\therefore b = 2 \text{또는} b = 4$ 이때, 점 $P$가 제1사분면 위의 점이므로 $b = 4$이다. 따라서, 삼각형 $QF' F$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{QF} \times \overline{PF'} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$