타원과 쌍곡선 삼각형 둘레

[출제의도] 타원과 쌍곡선의 정의를 이용하여 문제를 해결한다.

점 $\mathrm{P}$에서 타원의 두 초점 $\mathrm{F} _{1}$, $\mathrm{F} _{2}$까지의 거리의 합은 장축인 선분 $\mathrm{AB}$의 길이와 같다. 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF _{2}}} + \mathrm{\overline{PF _{1}}} = 6$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{P}$에서 쌍곡선의 두 초점 $\mathrm{F} _{1}$, $\mathrm{F} _{3}$까지의 거리의 차는 주축인 선분 $\mathrm{BO}$의 길이와 같다. 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF _{3}}} - \mathrm{\overline{PF _{1}}} = 3$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 더하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF _{2}}} + \mathrm{\overline{PF _{3}}} = 9$ 쌍곡선의 두 초점이 $\mathrm{F} _{3}$, $\mathrm{F} _{1}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{F} _{3} B}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{OF} _{1}} = c$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BF} _{2}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{BO}} - \overline{\mathrm{F} _{2} O}$$= 3 - c$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{3} F _{2}}} = \overline{\mathrm{F} _{3} B} + \overline{\mathrm{BF} _{2}} = 3$ 따라서 삼각형 $\mathrm{PF} _{3} F _{2}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF _{2}}} + \mathrm{\overline{PF _{3}}} + \mathrm{\overline{F _{3} F _{2}}} = 12$