타원과 쌍곡선 곡선

$\displaystyle \left| y ^{2} - 1 \right| = \frac{\mathit{x ^{2}}}{a ^{2}}$에서 (ⅰ) $\left| y ^{2} - 1 \right| > 0$, 즉 $y < \mathit{-} 1$ 또는 $y > 1$일 때, $a ^{2} \left( y ^{2} - 1 \right) = x ^{2}$, $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - y ^{2} = - 1$ (ⅱ) $\left| y ^{2} - 1 \right| \leq 0$, 즉 $- 1 \leq y \leq 1$일 때, $- a ^{2} \left( y ^{2} - 1 \right) = x ^{2}$, $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y ^{2} = 1$ $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y ^{2} = 1$일 때 $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} + {\overline{PD}} \mathrm{=} \sqrt{5}$이므로 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$를 초점으로 하는 타원 위의 점이고, 그 장축의 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$다. $\therefore$ $\displaystyle 2 a = \sqrt{5}$, $\displaystyle a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ 또, 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 초점이므로 $\displaystyle c ^{2} = a ^{2} - 1 = \frac{1}{4}$에서 $\displaystyle c = \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\mathrm{C}$$\displaystyle \left( \frac{1}{2} , 0 \right)$, $\mathrm{D}$$\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , 0 \right)$ 마찬가지로 점 $\mathrm{A}$는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{3}{2} \right)$이고 점 $\mathrm{B}$는 $\displaystyle \left( 0 , - \frac{3}{2} \right)$다. $y < \mathit{-} 1$ 또는 $y > 1$일 때는 주어진 식은 쌍곡선이다. 장축의 길이가 $2$이고 쌍곡선의 중심과 초점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + 1} = \frac{3}{2}$이므로 초점의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{3}{2} \right)$, $\displaystyle \left( 0 , - \frac{3}{2} \right)$ 따라서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표와 같다. 따라서 점 $\mathrm{Q}$는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 초점으로 하는 쌍곡선 위의 점이고, 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{4 x ^{2}}{5} - y ^{2} = - 1$

쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 10$이므로 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = 10 + 2 = 12$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + {\overline{BQ}} + {\overline{QA}} = \mathit{2} \times \frac{3}{2} + 12 + 10 = 25$