타원과 내접원 반지름

[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 추론하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OF}}$에서 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{F}' F$를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 $\mathrm{\angle} FQF'$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}}$$= k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} : \mathrm{\overline{F' Q}}$$= 1 : 4$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}}$$= 4 k$이고 타원의 장축의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} + \mathrm{\overline{F' Q}}$$= 5 k$ 삼각형 $\mathrm{PF}' Q$의 내접원의 반지름의 길이는 $2$이므로 삼각형 $\mathrm{PF}' Q$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{F}' Q} \times \overline{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times \left( \mathrm{\overline{F' P}} + \mathrm{\overline{F' Q}} + \mathrm{\overline{PQ}} \right)$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 k \times \mathrm{\overline{PQ}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times \left\{ \mathrm{\overline{F' P}} + \mathrm{\overline{F' Q}} + \left( \mathrm{\overline{PF}} + \mathrm{\overline{FQ}} \right) \right\}$ $\displaystyle 2 k \times \mathrm{\overline{PQ}}$$\displaystyle = \left( \mathrm{\overline{F' P}} + \mathrm{\overline{PF}} \right) + \left( \mathrm{\overline{F' Q}} + \mathrm{\overline{FQ}} \right)$$= 5 k + 5 k$$= 10 k$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$= 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PQ}} - \mathrm{\overline{FQ}}$$= 5 - k$ $\displaystyle \mathrm{\overline{F' P}}$$= 5 k - ( 5 - k )$$= 6 k - 5$이므로 직각삼각형 $\mathrm{PF}' Q$에서 $( 6 k - 5 ) ^{2}$$= ( 4 k ) ^{2} + 5 ^{2}$ $20 k ^{2} - 60 k$$= 20 k ( k - 3 )$$= 0$, $k$$= 3$ 따라서 직각삼각형 $\mathrm{F}' QF$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{F' Q}} ^{2} + \mathrm{\overline{FQ}} ^{2}$ $( 2 c ) ^{2}$$= 12 ^{2} + 3 ^{2}$$= 153$ $c ^{2}$$\displaystyle = \frac{153}{4}$, $c$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{17}}{2}$