기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 중점 조건

문제

그림과 같이 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1의 두 초점 중 xx좌표가 양수인 점을 F\mathrm{F}, 음수인 점을 F′\mathrm{F}'이라 하자. 타원 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 PF′\mathrm{PF}'의 중점 M\mathrm{M}의 좌표가 (0,1)\left( 0 , 1 \right)이고 PM‾=PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = {\overline{PF}}일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [4점]

①1414②1515③1616④1717⑤1818

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②

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해설

[출제의도] 이차곡선의 성질 추론하기 PM‾=PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = {\overline{PF}}, PM‾=MF′‾\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = {\overline{MF'}}이고 MF′‾=MF‾\displaystyle \mathrm{\overline{MF'}} = {\overline{MF}}이므로 삼각형 PMF\mathrm{PMF}는 정삼각형이고 ∠F′FP=90∘\mathrm{\angle} F' FP = 90 ^\circ MO‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{MO}} = 1이므로 PF‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 2, PF′‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = 4, FF′‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = 2 \sqrt{3} 장축의 길이가 2∣a∣=2+4=62 \left| a \right| = 2 + 4 = 6이므로 ∣a∣=3\left| a \right| = 3 a2−b2=3{a ^{2} - b ^{2}} = 3에서 b2=6b ^{2} = 6 따라서 a2+b2=15a ^{2} + b ^{2} = 15

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#타원의 정의#초점

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