기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 직각이등변삼각형

문제

그림과 같이 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} + \frac{y ^{2}}{12} = 1$ 의 두 초점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{F}$ , 음수인 점을 $\mathrm{F}'$ 이라 하자. 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} + \frac{y ^{2}}{12} = 1$ 위에 있고 제 $1$ 사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{F}' P$ 의 연장선 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}} = 10$ 이 되도록 잡는다. 삼각형 $\mathrm{PFQ}$ 가 직각이등변삼각형일 때, 삼각형 $\mathrm{QF}' F$ 의 넓이는? (단, $a > 12$ ) [4점]

① $15$ ② $\displaystyle \frac{35}{2}$ ③ $20$ ④ $\displaystyle \frac{45}{2}$ ⑤ $25$

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③

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해설

아래 그림과 같이 놓으면

$\displaystyle k + l = 10 = 2 \sqrt{a}$ 이므로 $a = 25$ 초점 거리를 $2 c$ 라 하면 $k ^{2} + l ^{2} = 4 c ^{2} = 4 ( a - 12 ) = 52$ $2 kl = ( k + l ) ^{2} - ( k ^{2} + l ^{2} ) = 100 - 52 = 48$ P가 제1사분면의 점이므로 $k > l$ 이다. 이제 $k$ , $l$ 을 근으로 하는 이차방정식은 $x ^{2} - 10 x + 24 = 0$ , $( x - 6 ) ( x - 4 ) = 0$ 따라서 $k = 6$ , $l = 4$ 이고 구하려는 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} kl + \frac{1}{2} l ^{2} = 12 + 8 = 20$

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