기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타원 접선과 등차 넓이

문제

그림과 같이 두 초점이 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'인 타원 3x2+4y2=123 x ^{2} + 4 y ^{2} = 12 위를 움직이는 제1사분면 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선 ll이 xx축과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 점 P\mathrm{P}에서 접선 ll과 수직인 직선을 그어 xx축과 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. 세 삼각형 PRF\mathrm{PRF}, PF′R\mathrm{PF}' R, PFQ\mathrm{PFQ}의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P\mathrm{P}의 xx좌표는? [4점]

①1312\displaystyle \frac{13}{12}②76\displaystyle \frac{7}{6}③54\displaystyle \frac{5}{4}④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤1712\displaystyle \frac{17}{12}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 타원의 접선의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기 초점 F(1,0)\mathrm{F} \mathit{(} 1 , 0 ), F′(−1,0)\mathrm{F}' \mathit{(} - 1 , 0 ) P(x1,y1)\mathrm{P} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )에서 접선의 방정식은 3x1x+4y1y=123 x _{1} x + 4 y _{1} y = 12 접선의 xx절편은 4x1\displaystyle \frac{4}{x _{1}} P(x1,y1)\mathrm{P} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )에서 접선에 수직인 직선의 방정식은 y−y1=4y13x1(x−x1)\displaystyle y - y _{1} = \frac{4 y _{1}}{3 x _{1}} ( x - x _{1} ) 접선에 수직인 직선의 방정식의 xx절편은 x14\displaystyle \frac{x _{1}}{4} 세 삼각형의 높이는 모두 같으므로 세 삼각형의 밑변의 길이가 등차수열을 이룬다. RF‾=1−x14\displaystyle \mathrm{\overline{RF}} = \mathit{1} - \frac{x _{1}}{4}, F′R‾=x14+1\displaystyle \mathrm{\overline{F' R}} = \frac{\mathit{x _{1}}}{4} + 1, FQ‾=4x1−1\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} = \frac{\mathit{4}}{x _{1}} - 1 2(x14+1)=(1−x14)+(4x1−1)\displaystyle 2 \left( \frac{x _{1}}{4} + 1 \right) = \left( 1 - \frac{x _{1}}{4} \right) + \left( \frac{4}{x _{1}} - 1 \right) 양변에 4x14 x _{1}을 곱하여 정리하면 3x12+8x1−16=(3x1−4)(x1+4)=03 x _{1} ^{2} + 8 x _{1} - 16 = ( 3 x _{1} - 4 ) ( x _{1} + 4 ) = 0 따라서 x1=43\displaystyle x _{1} = \frac{4}{3}

태그

#타원의 접선#등차중항

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 이차곡선 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로