기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 초점 수선의 발

문제

아래 그림과 같이 두 초점 F,F′\mathrm{F} , F'이 xx축 위에 있는 타원 x249+y2a=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{49} + \frac{y ^{2}}{a} = 1위의 점 P\mathrm{P}가 FP‾=9\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} = 9를 만족시킨다. 점 F\mathrm{F}에서 선분 PF′\mathrm{PF}'에 내린 수선의 발 H\mathrm{H}에 대하여 FH‾=62\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = 6 \sqrt{2}일 때, 상수 aa의 값은? [4점]

①2929②3030③3131④3232⑤3333

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②

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해설

FP‾+F′P‾=14\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} + {\overline{F' P}} = 14 9+F′P‾=14\displaystyle \mathrm{9} + {\overline{F' P}} = 14, F′P‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{F' P}} = 5 △FPH\triangle FPH에서 FP‾2−PH‾2=FH‾2\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} ^{2} - {\overline{PH}} ^{2} = {\overline{FH}} ^{2}에서 92−PH‾2=(62)2\displaystyle \mathrm{9} ^{2} - {\overline{PH}} ^{2} = ( 6 \sqrt{2} ) ^{2}에서 PH‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = 3 따라서 F′H‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{F' H}} = 2 FF‾′=249−a\displaystyle \mathrm{\overline{FF}}' = 2 \sqrt{49 - a} △FHF′\triangle FHF'에서 FH‾2+F′H‾2=FF′‾2\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} ^{2} + {\overline{F' H}} ^{2} = {\overline{FF'}} ^{2} (62)2+22=(249−a)2\displaystyle \left( 6 \sqrt{2} \right) ^{2} + 2 ^{2} = \left( 2 \sqrt{49 - a} \right) ^{2} 76=4(49−a)76 = 4 ( 49 - a ) a=30a = 30

태그

#타원의 정의#피타고라스

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